1. 设b是正自然数，b进制数的一般形式是怎样的？
2. 用10100表示的数在二进制、八进制和十六进制下的数值分别是多少（用十进制数表示）？
3. 将下列数转化为十进制数：
（1） ；（2） ；（3）
解答： （1）751；（2）4666；（3）3634。
4. 将 转化为二进制数、八进制数和十六进制数。
5. 尝试证明定理5、定理6、定理7。
6. 举实例说明半序集、全序集和良序集。
解答：当不规定花色的序时，52张牌按数字大小是半序集，当规定了花色的序后，52张牌先按数字大小，再按花色大小就是全序集，也是良序集。
7. 有血缘关系的家族内成员关于“辈分高低”关系构成全序集吗？亲戚成员关于“辈分高低”关系构成全序集吗？
8. 所有英文单词能构成全序集吗？
9. 用数学归纳法证明下列各题：
（1） 能被6整除；
（2） ；
（3） ；
解答：
用数学归纳法证明下列各题：
（1）（见“模块3练一练”）。
（2） ；
i）当 时，左=右=1，命题成立。
ii）设 时，
则当 时， ，
所以命题成立。
（3） ；
i）当 时，左 ，右 ，命题成立。
ii）设 时， ，
则当 时，
 ，
所以命题成立。
10. 已知 ，且 ， ，且 ，求证
11. 已知 。
（1）猜想通项公式 ；
（2）如何证明上述通项公式。
解答：（1） ；
（2）将通项公式代入递推公式，验证其是否成立。
12. 在 ， 个相同的小方格组成的棋盘上，任意挖起一个小方格后，总可以用三个这样的小方格构成的L形图片恰好铺满。
解答：i）当 时， 的方格如图所示：
命题成立。
ii）当 时，即 的方格时命题成立，
则当 时，用四块 拼接如图所示：
命题成立。
13. 证明可以把自然数 排成一圈，使每相邻两数之差不超过2。
14. 两个小朋友做游戏：有数目相同的两堆火柴，每个小朋友间隔地在属于自己的那堆中取若干根火柴，每次至少取一根，规定取得最后一根火柴者为胜。求证后取者有必胜策略。
15. 已知 ， ，
求证对任意 ，有 。
16. 已知对任意 ， 满足
1） ；
2） ；
3） 。
求证 1） ；
2） ；
3） 。
解答：（1）i）当 时， 。
ii）设 成立，则
 ，
所以命题成立。
（2）i）当 时，
 。
ii）设 成立，则
 。
所以命题成立。
（3）i）当 时， ，
ii）设 成立，则
 ，
所以命题成立。
17. 说明：若自然数 的标准分解式为 ，则
（1） 的一切正因数的个数为 ；
（2） 的一切正因数的和为
 。
18. 证明形如 的素数有无限多个。
|
，
，
。 
，
，
。 
为例。
时，
（定义）；
时，
。
时，
时，左
，右
，且
，所以，
，即命题成立。
时，
成立，
时，
，
时，命题显然成立。
时，这样的排列存在，且在
相邻的位置上，只可能是
和
。则当
时，将
置于
和
之间，因为
与
或
的差不大于2。命题成立。
时，后取者有获胜策略，则当每堆火柴根数
时，
根时，后取者取走
根，后取者获胜。
根，
时，后取者也取走
根，剩下部分是
根，由归纳假设知，后取者有获胜策略。
时，
=左，
时，
时，要证
，
用数学归纳法。
时，右
左。
时，
成立，则当
时，
，
，
成立，
，
成立。
，则
的正因数由
的形式构成，
，
，
，所以正因数个数为
；
的正因数为
。
的素数只有有限多个。设为
，
，
有限。令
，设
是
的素因数，
必为
型和
型之一。
全为
型，则
为
型，与
为由
型矛盾；
为
型，若
，由
，得
，必有
，与
都是
型素数矛盾。所以形如
型的素数有无限多个。