有理数

在人们的生活中，慢慢地有了土地测量、土木建筑、水利工程等生产活动，这些活动中都需要进行测量，最初用的测量工具往往是一件形状长长的实物，例如一根竹竿，把竹竿的长度作为单位长度，用同一根竹竿测量不同实物的长度，例如量得这块地2竹竿长，那块地3竹竿长,也称这些地的长度值为2、3。在度量中，有时有测量不尽的情形，即产生自然数不够用的矛盾。为了更精确地度量下去，会想到把这根竹竿二等分、四等分或n等分，每等分作为更小的度量单位，用这个更小的度量单位测量余下部分。假如用n等分的竹竿测量余下部分有m个，那么余下部分长度值为m/n,于是正分数就诞生了。

据史书记载，三千多年前的埃及纸草书上就已经有了正分数的记载，其中包括正分数的符号和运算。在埃及纸草书上可以看到，他们的分数的记法是，在一个整数上面画一个椭圆或画一个点，表示以这个整数为分母的单位分数（分子为1的分数）。当时的埃及人非常重视单位分数的应用，在埃及纸草书上，记载着很多非单位分数转化为单位分数的等式，例如

，，……，。

我们推测，埃及人将分数转化为单位分数的目的应该是为了分数换算的方便。

早在战国时期，魏国宰相李俚（公元前455-395年）著《法经》中有一笔帐：农户五口之家种田100亩，每年每亩收获小米一石半，共收一百五十石。除了十分之一缴税十五石，余下一百三十五石。每人每月吃粮一石半，十二个月五人共吃粮九十石，余粮四十五石。每石值三十钱，共值一千三百五十钱。除去祭神用三百钱，还余一千零五十钱。每人每年穿衣化三百钱，五人一年共用去一千五百钱，所以全年负债四百五十钱。

在这笔帐中多处出现分数及其运算：

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；

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秦始皇在统一中国（公元前221年）后颁布的顓頊（音专旭）历中有： 观察得一年有日，19年有7个闰月。于是推算得，19年有235个月，一年有个月，一月有日。

这里也用到分数的乘除运算：

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在《九章算术》（公元50-100年）方田章中，有大量的通分、约分运算，说明那时人们已经掌握了分数的性质。在《九章算术》中还有小数的概念，被称作微数；在后来的秦九韶的《数书九章》（公元1247年）和朱士杰的《四元玉鉴》（公元1303年）中都有小数的记载和小数的运算。

九章算术数书九章四元玉鉴校正