素数与合数 |
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如果自然数
可以表达成
，那么就把
分别叫做自然数
的因数。
定义5 如果大于1的自然数
只有两个因数1与
，那么我们就说
是素数；如果自然数
有多于两个的因数，就说
是合数。
这样一来，自然数被分成三类：1、素数类、合数类。
（注意，1既不是素数也不是合数。大于1的奇数要么是素数，要么是合数。在偶数中，只有2是素数，其余都是合数）
我们来看有关合数在自然数中分布情况的一个命题。
例15 证明：对于任意
，总可以找到
个相邻的合数。
证明 设
个相邻的合数为
，
，……，
，
令
，从而
，取
得到
个相邻的合数：
，
，……，
。
定理10 大于1的自然数
的大1的最小因数是素数。
假如自然数
的大于1的最小因数是合数
，那么这个合数
有因数
，
，
也是
的因数，与
是最小素数矛盾。
定理10还表明，凡大于1的自然数至少有—个素因数。
欧几里得还发现了
定理11 素数有无限多个。
证明 假如素数只有有限个，设它们为
，令
，
根据定理10，
有素因数
。
现在就要证明
不是
中的任何一个。
事实上．若
，则由
可推得
。这与
是素数矛盾。于是可知素数有无限多个。
如果直接用定义判别大自然数
是否是素数，就要用所有小于
的素数试除
，看看其中有没有
的因数。但是下面的定理可以减少许多用来试除的素数。
定理12 若
是合数，则
有平方不大于
的素因数。
证明设
是
的最小素因数，于是有
，这就有
，结论成立。
定理12给出了确定自然数的素因数的一种方法，也给出了寻求素数的一种方法。
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