例16 已知在平面直角坐标系中，点 |
 |
、
、
的坐标分别为
、
、
（图7-7），求三角形
的面积公式。
图7-7
解 设
、
、
在
轴上的投影分别是
、
、
，因为三角形
的面积
，所以
。
注根据行列式的性质，对换两行将改变行列式的符号，所以上述面积公式中三个顶点的排列顺序会改变计算结果的正负，但不会改变结果的绝对值。
上述三角形的面积公式等价于下列结论：
（1）以
、
、
为顶点的平行四边形的面积等于
的绝对值。
（2）平面上三点、、共线的充要条件是
或
。
例17 设平面上三条两两相交的直线方程为
，
求证
、
、
共点的充要条件是行列式
。
证明 因为与相交，所以方程组
有唯一解，即
与
的交点坐标为
。
（必要性）因为、、共点，所以与的交点在上，所以交点坐标满足的方程，即
。又因为
，所以，
，即
。
（充分性）由
、
，得
，即与的交点坐标满足的方程，所以、、三线共点。
例18 判断下列三条直线是否共点：
（1）
；（2）
。
解 这两组直线显然都是两两相交的。
（1）因为
，所以、、三线共点。
（2）因为
，所以、、三线不共点。