3. 向量积及其应用
已知两个不平行的向量
和
，如何求得既垂直于
，又垂直于
的向量
呢？
设
的坐标为
，
的坐标为
，
的坐标为
。因为
同时垂直于
和
，所以
，
，即
。（12）
将方程组（12）转化为
，由于
和
不平行，所以
，方程组（12）的解为
。
令
，此时
，即得
。
可用基本单位向量表示为
，或记为三阶行列式
。（13）
的模满足
（其中
为
、
的夹角）。
即
，它的几何意义是以
、
为邻边的平行四边形的面积（图7-8）。
图7-8
我们把向量
叫做向量
与
的向量积，记作
。
的方向同时垂直于
、
（并以
、
、
构成右手系），
的模等于以
、
为邻边的平行四边形的面积。向量积的这些特性在立体几何中有广泛的应用，例如求两条异面直线的公垂线方向、求平面的垂线方向、求空间三角形和平行四边形面积、求空间点到直线的距离等。
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