零和负数

零的引入原因可能有两个，其一是做减法时发生的结果，它对应“没有实物”的事实，其二是计数方法的需要，按筹算数码的记法，“12”和“102”最初的记法是“一二”和“一二”，后者在一、二之间有空格，但二者很容易混淆。在李冶（公元1102-1279年）的《测圆海镜》和秦九韶的《数书九章》中都用符号“Ο”表示一个空位，即把“12”和“102”分别记为“一二”，“一Ο二”。

在《九章算术》的第八章“方程”中有了负数的记载：把“卖（收入钱）”作为正，则“买（付出钱）”作为负；把“余钱”作为正，则“不足钱”作为负。在关于粮谷计算的问题中，是以“益实”（增加粮谷）为正，“损实”（减少粮谷）为负等。并且还指出：“两算得失相反，要以正负以名之”。当时是用算筹来进行计算的，所以在算筹中，相应地规定以红筹为正，黑筹为负；或将算筹直列作正，斜置作负。这样，遇到具有相反意义的量，就能用正负数明确地区别了。

在《九章算术》中，除了有正负数的概念外，还完整地记载了正负数加减法的运算法则，即“正负术曰，同名相除，异名相益。正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益。正无入正之，负无入负之”。其中前四句是减法法则，后四句是加法法则。今天我们读中国古书中的文字，觉得叙述还不够明确，但直到公元17世纪以前，这还是正负数加减运算最完整的叙述。

在国外，负数出现得很晚，直至公元1150年（比《九章算术》晚一千多年），印度人巴士卡洛首先提到了负数。在17世纪以前，许多数学家一直采取不承认的态度。如法国大数学家韦达，尽管在代数方面作出了巨大贡献，但他在解方程时却极力回避负数，并把负根统统舍去。因为那时的数学家把零看作“没有”，所以他们不能理解比“没有”还要少的事实，因而认为负数是“荒谬的”。直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，才逐渐得到了公认。

零和负数引进后，整数集和有理数集就完整地形成了，容易验证，在自然数集中，加法和乘法是封闭的；在整数集中，加法、减法、乘法是封闭的；在有理数集中，四则运算都是封闭的。