虚数
早期的数学家都认为负数是没有平方根的。到了16世纪中叶，意大利数学家卡尔丹在《大法》这一数学著作中介绍了三次方程的求根公式，其中他不仅讨论了正根和负根，还讨论了虚数根，卡尔丹写出了负数的平方根，但他认为这也仅仅是一种记号而已，对负数平方根的性质并没有研究；1637年，法国数学家笛卡尔开始用“实数”、“虚数”两个名词；1777年，瑞士数学家欧拉开始用符号
表示虚数的单位。
当虚数闯进数的领域时，由于实际生活中没有需用虚数来表达的量，人们对虚数的实际用处一无所知，因此在很长一段时间里，人们对虚数有种种怀疑和误解，其中不乏大数学家。笛卡尔为这种数命名“虚数”的本意是指它是虚假的，不存在的数；莱布尼兹认为，“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物”；欧拉尽管在许多地方用了虚数，但仍然说一切形如
、
的数字都是不可能有的，纯属虚幻的。但今天我们可以看到，虚数的内涵是非常“实”的。
把实数和虚数结合起来的数集称为复数集，复数在数学和物理的研究中都扮演着非常重要的角色。在复数集上，由于负数可以开平方，得到了“实系数一元
次方程有且仅有
个根”的结论，使方程的理论更完美。解决了在实数集上，简单的一元二次方程不一定有解的尴尬。
复数的表示形式有几种：
（1）代数形式
；
（2）三角形式
；
（3）指数形式
其中
是实数，
是虚数单位，
；
，
，
。
关系式
被数学家称为最漂亮、最简洁的等式。因为其中
是最著名的无理数，1和
分别是实数和虚数的单位。
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