自然数的序数理论
经过第一次数学危机，人们对直觉的可靠性产生了怀疑，为使数学建立在可靠的逻辑基础上，建立了数学的公理化方法。自然数是人们最早认识的最基本的数，是在生活和生产实践中依赖于直觉抽象出来的数，人们认识了自然数与实物的“多少”的关系、认识了自然数之间的大小比较、掌握了自然数的某些运算，然而这一切有没有漏洞，是不是合理，有没有矛盾，这些问题在19世纪提上了数学家的议事日程。
德国数学家康托（Georg Cantor，1845-1918年）和意大利数学家皮亚诺（Peano,Giuseppe 1858-1932年）独立地为自然数建立了两种等价的理论--自然数的基数理论和序数理论。这两种理论都用公理化方法定义了自然数的概念，并从自然数概念出发严格论述了自然数的大小关系、运算关系和运算性质等。
康托 皮亚诺
其中基数理论的背景是把自然数与集合的基数建立对应关系，而集合的基数就是该集合中元素的个数。在集合论的逻辑基础上，康托建立了自然数的基数理论。
自然数序数理论的背景是把自然数看作一列有序的元素，这个元素列有无穷个元素，其中有一个是“第一个”，其他的每一个都有唯一确定的前邻元素和后邻元素。在这个基础上建立的自然数公理凸现的是自然数的“有序”特点，因此被称为自然数的序数理论。
在本课程中，我们主要学习自然数的序数理论，经历公理法是如何定义自然数概念，怎样规定自然数的大小，怎样规定自然数的运算，怎样证明自然数的运算性质，体会公理化方法的特征。
定义1 （皮亚诺公理）集合N的元素叫做自然数，如果集合N的元素之间有一个基本关系“后继”（用“
”表示），并满足下列公理：
I 
；
II对任何
，有唯一的
；
III对任何
，
不是1；
IV对任何
，若
与
相同，则
与
相同，记为
；
V(归纳公理) 若
，且
1）
;
2）对任意
,有
。
则
。
（说明在这个定义中，“0”不属于自然数，如果按现在的规定，上述定义中的“1”改为“0”就可以了，没有其他本质的差别。在本小节（1.2.2）的叙述中，我们仍然以皮亚诺公理原来的表述为准）
现在我们验证一下，我们早已非常熟悉的自然数是否满足定义l。
由I，集合N中有自然数l；
由III，1是最前面的自然数；
由II，1有唯一的后继
，记为2，2有唯一的后继
，记为3，……
由IV，不同自然数的后继也不同，于是就有了无穷多个不同的自然数：
1，2，3，4，……。
由V，对于自然数N的任意子集M，只要满足“包含1”和“包含各元素的后继”两条，就可知M=N。
（第IV条公理就是数学归纳法的依据）
定义2 （自然数的加法） |
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在自然数N中，满足下列条件的二元运算“+”叫做加法：对于
，满足
1）
；
2）
。
其中
叫做
的和。
按加法的定义，加法应该如何做呢？
定理1 自然数的和存在且唯一。
证明设
，取定
，
是使
唯一存在的自然数
的集合，
。
1）当
时，
，由公理第II条，
在自然数中存在且唯一。
2）假设当
时，
在自然数中存在且唯一。那么
当
时，
（理由：后继定义，加法定义），
由于
在自然数中存在且唯一，由公理第II条，
在自然数中存在且唯一。
由公理第V条知，
。
所以，对任意
，
在自然数中存在且唯一。
定理2（加法结合律）对任何
，总有
。
证明取定
，设
是使
成立的自然数
的集合，
。
1）当
时，由于
，而
，因此
。
2）假设
时，有
。
当
时，
因为
，
，
由假设
和公理第II条，得
。即
。
由公理第V条得
，即对任意
，满足
。
定理3 （加法交换律）对任何
，总有
。
证明取定
，设
是使
成立的自然数
的集合，
。
1）当
时，为了证明由于
，设
是使
成立的自然数
的集合，
。
i）当
时，显然
成立。
ii）假设
时，有
，
当
时，
，
，
由公理第V条得
，即对任意
，满足
。
2）假设
时，有
，
当
时，
，
，
又由于假设
和公理第II条，得
。
由公理第V条得
，即对任意
，满足
。
(注1）加法交换律的证明用了两次公理第V条：首先对
进行归纳，当
时，要证明
，此时又对
进行归纳。
2）在证明
成立时，用了
时的结论和
时的假设，还用了定理2（加法结合律）)
（定理1、定理2、定理3的证明可以不讲）
定义3（自然数的乘法） |
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在自然数N中，满足下列条件的二元运算“·”叫做乘法：对于
，满足
1）
；
2）
。
其中
叫做
的积，简记为
。
定理4 自然数的积存在且唯一。
（严格的证明要用到公理V，本节省略这部分证明）
定义了自然数的乘法运算以后，我们也要证明乘法的运算律：
定理5（乘法分配律）对任何
，有
，
。
定理6（乘法交换律）对任何
，有
。
定理7（乘法结合律）对任何
，有
。
现行在中小学教材上这样表述“关于乘法，3个5，可以写作
，也可以写成
…。3和5都是乘数”。这里不强调
和
的区别，也不强调乘数与被乘数的区别，原意是为了减少学生学习乘法运算的困难，但事实上，
具有乘法定义的背景，而
是在乘法定义的基础上，又运用了乘法的交换律。
自然数的序数公理中，已经用“后继”，规定了
与
的顺序，现在我们讨论任意两个自然数的顺序。
定义4（半序集）如果在集合
上定义了一种关系“
”，若对于任意的
，满足条件
1）（自反性）
；
2）（反对称性）如果有
，且
，那么
；
3）（传递性）如果有
，且
，那么
。
则称
为半序集或偏序集，“
”称为半序关系。
若半序集
进一步满足
4）对于任意
，
和
两式中至少有一个成立，则称
全序集。
若全序集
满足
5）
的任意非空子集
，都有最小元
，即任意
，有
，那么
称为良序集。
我们可以验证，自然数
是关于“
”关系的良序集。
自然数有两种属性，一是基数属性，一是序数属性。自然数的基数理论体现了一个集合有“多少个元素”的属性，自然数的序数理论体现了数的顺序性，即“第几个元素”的属性。这二者是相通的，共同反映了事物具有的数的特性。我们以自然数的序数理论定义了自然数，定义了自然数的加法和乘法，并可以用严格的逻辑演绎的方法证明自然数的一系列运算法则，这一切与“自然”发生的自然数概念和运算完全是相容的。本节的学习目的是让学习者了解现代数学中公理化的方法和过程，体会到公理化方法的严谨性、抽象性和可靠性。
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