例17 |
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求105840的标准分解式。
解 由小到大依次找出105840的全部素因数，得
从理论上讲，任何大于1的自然数都有标准分解式，但是对于比较大的自然数，要具体写出它的标准分解式，也是非常困难的。
例18 设
为素数，求证
。
证明 设
的标准分解式为
，这里
都是奇素数。
令
，于是
，
为奇数。
假设
，则
于是有
，又
，这与已知条件
是素数矛盾，所以
，从而
。
形如
的数是用法国数学家费尔马的名字命名的。例18表明，若形如
的数是素数、则它是费尔马数。反过来的问题是，费尔马数都是素数吗？1640年，费尔马发现
、
、
、
、
都是素数，他因此猜想任何费尔马数
都是素数。但是他猜错了，1732年欧拉举出了反例，
是合数。
费尔马
例19 证明
是合数。
证明 因为
所以
是合数。
费尔马最初发现
、
、
、
、
都是素数，欧拉证明了
是合数，又有人发现
也是合数。不仅如此，以后陆续发现
，
……,直到
，以及许多
值很大的
都是合数！虽然费尔马数的值随着
值的增加，以极快的速度变大(例如1980年求出
=1238926361552897×一个62位的数)，目前能判断它们是素数还是合数的也只有几十个，但人们惊奇地发现：除费尔马当年给出的5个外，至今尚未发现新的素数。这一结果使人们反过来猜测：是否只有有限个费尔马数是素数？是否除费尔马给出的5个素数外，再也没有其他素数了？可惜的是，这个问题至今还悬而未决，成为数学中的一个谜。
人们虽然知道素数有无限多个，但并没有找到素数在整个自然数中的分布规律，下例揭示了素数分布的某些局部规律。
例20 证明形如
的素数有无限多个。
证明 假设
是形如
的所有素数。构造
，显然
。根据定理，
有素因数
。
若
，则由
可推得
，这与
是素数矛盾。于是可知
不同于
。
再证明
必有
型的素因数。事实上
的素因数是奇数，而奇数可以写成
或
形式，但是他们不会全都是
形式，因为
。
即
型的数的乘积必定是
型的数，因此，
的素因数必有
型的。
在结束本节之前，还要提及有关素数的另两个著名问题。
一个是哥德巴赫(GoNbach)猜想：
1）每个大于4的偶数都是两个奇素数之和；
2）每个大于7的奇数都是三个奇素数之和。
这是1742年哥德巴赫与欧拉在通信中提出的问题．经过二百多年来中外数学家的辛勤劳动，关于这个猜想的研究已经取得重大进展。这方面最好的结果是《中国科学》在1973年5月刊出中国数学家陈景润所证明的定理：任一充分大的偶数是—个素数与另—个数的和，后者或是素数，或是两个素数的乘积。
再一个是孪生素数问题。当
同为素数时．则称它们为孪生素数。如3，5；11，13；17，19；29，31：……，至今所知道的最大孪生素数是
，
。数学家猜想，孪生素数可能有无限多对。这个问题的证明也是著名的难题。