由素数的定义可知，素数
与自然数之间，要么
，要么
。其中
表示
的最大公约数，
表示
互素。由此有
定理13 设
是素数，
。若
，则
整除某—个
。
证明 假设
不能被
整除，于是
，
。这就有
，此与
矛盾。所以定理13成立。
下面是自然数的唯一分解定理，也称算术基本定理。
定理14 每个大于1的自然数，都可以唯一地分解成素因数的乘积（不计因数的顺序）。
证明 对任意自然数
。
（1）存在性
如果
是素数，显然定理成立。
如果
是是合数．那么它至少有一个素因数
，设
，如果
是素数，那么定理成立。
如果
是合数，则
至少有一个素因数
，从而
，……。这样继续下去，由于
，所以经过有限次后必得，满足
（1）
（2）唯一性．
如果还有素数
，使得
（2）
那么
。（3）
因为
是素数，且
，所以
整除
之一，又
都是素数，所以存在
，不妨是
，有
。在（3）式两边同除
，得
再用同样方法就会得到
，这样继续下去．必有
。倘若不然，不妨设
，，则由（3）式得
显然这是不可能的。
（1）中各个素因数可能有些是相同的，如果把相同素数的积写成幂的形式，就有如下的
推论 大于l的自然数
可以唯—地分解成
其中
是相异素数，
。
上式叫做
的标准分解式。为了方便，有时也允许幂指数
。
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