学习目标
学习二元和三元的线性不定方程的解法。
重点与难点
重点：掌握二元和三元的线性不定方程的公式解法和逐步取整解法。
难点：把现实问题转化为不定方程问题。
我们曾经学过很多方程，如线性方程、二次方程、高次方程、多元方程、指数方程、对数方程、三角方程、超越方程等等，在本节中，我们学习两种用途广泛的方程—不定方程和同余方程。
3.1不定方程
如果方程的个数少于未知数的个数，这类方程称为不定方程。对于不定方程，我们研究的是它的整数解。不定方程在我国古代早有研究，一些典型问题如“物不知数”、“百钱百鸡”等在民间也广为流传，这类问题在日常生活和生产实际中都有广泛应用。
定理1 二元一次不定方程
（
都是整数）有整数解的充要条件是
（
表示
的最大公约数能整除
）。
证明 设
，
，
，
，
。
必要性，如果
是不定方程的一组解，那么
，即
。所以
。
充分性因为
，所以存在整数
，满足
。于是有
，
，即
，所以
是原不定方程的一组解。
从定理1可知，当
有解时，我们要求得
的解，只要讨论
的情况即可，若
，则可先用
除方程两边得
，它与
同解。
定理2 若方程
（
都是整数，
）有整数解
，则它的一切整数解可表示为
（
为任意整数）。（1）
证明 验证可知，当
时，方程
成立。
设整数
满足
，（2）
又因为
，（3）
（2）-（3）得
。因为
，所以
，设
，
是整数，即
。代入（3）得
。
我们把
叫做不定方程
的一组特解，把（1）叫做不定方程
的通解。
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