学习目标
了解同余方程
解的结构，掌握同余方程
的解法。
重点与难点
重点：
同余方程
的解法；
难点：
系数较大时同余方程
的解法。
3.2 同余方程
定义 设
是正整数，
是整数，
，称
（1）
为一次同余方程。如果存在一个整数
满足同余方程（1），那么
中任意元素都满足同余方程（1）。我们把满足
且
的
叫做同余方程（1）的解。
例如，
都满足同余方程
，其中
叫做同余方程
的解。
定理3 若
不能整除
，则
无解。
证明 假设存在整数
满足
，则有
，
是任意整数，即
。设
，则由
，得
，与已知条件矛盾。所以
无解。
定理4 若
，则
有
个解。
证明 设
，
，
，
，于是有
。因为
，所以存在整数
，满足
，两边乘以
，得
，即
满足
。设
是
的解，即
，
。当然
也是
的解。由于
都满足
，
，它们都是
的解。所以同余方程
有
个解。
特别地，若
，则同余方程
有唯一解。
解一次同余方程是，我们一般硬先判断是否有解？有几个解？如果有解，可运用同余式的性质逐步求出它的解。
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